乗法 - 変更履歴

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2007年5月17日 (木) 13:40にキリカによる

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[[算術]]における'''乗法'''（じょうほう、''multiplication''）は、繰り返し[[加法|和]]をとることにより定義される、[[自然数]]あるいは[[整数]]同士の[[二項演算|演算]]である。'''掛け算'''（かけざん）とも呼ばれる。

乗法は算術の[[四則演算|四則]]と呼ばれるものの一つで、逆の演算として[[除法]]をもつ。乗法の結果を'''積'''（せき、''product''）と呼ぶが、しばしば積の一語で乗法そのものを指すことがある。

乗法は、数の拡張にしたがって有理数、実数あるいは複素数の間に拡張される。また、抽象[[代数学]]においては、一般に可換とは限らない二項演算に対して、それを乗法、積などと呼称する（演算が可換である場合はしばしば[[加法]]、和などと呼ぶ）。

== 定義 ==
（いずれも 0 でない）自然数 ''m'' と ''n'' に対して、''m'' を ''n'' 個分加えた数
:<math>\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n {\rm\ times}}</math>
を
: ''m'' × ''n'', ''m'' · ''n'', ''mn''
などのように書いて ''m'' に ''n'' を'''掛けた数'''とか ''m'' と ''n'' の積、''m'' 掛ける ''n'' などという。言語によってはその自然な語順から、同じく ''m'' を ''n'' 個分加えた数を
: ''n'' × ''m'', ''n'' · ''m'', ''nm''
などのように上と逆順に記す場合もある（たとえば英語では ''n'' × ''m'' を ''n'' times ''m'' すなわち ''n'' 回の ''m'' と読む）。ただし、この語順に対する注意は、この演算について[[交換法則]]が成り立つ（後述）という性質によって本質的には問題になることはない。

''n'' = 0 のときは、''n'' × ''m'' = 0 × ''m'' は 0 であると約束する。

さらに整数同士の乗法は、負の整数を掛けるという事を以下のように定める: 整数 ''m'' と自然数 ''n'' に対して
:''m'' × (−''n'') := (−''m'') × ''n''
すなわち、「負の整数 −''n'' を掛ける」ということを、「対応する正の整数 ''n'' の数だけ符号を反転した整数（ここでは −''m''）を加える」という演算として定義する。

== 性質 ==
''n'' と ''m'' が自然数であるとき、''n'' を ''m'' 個加えるたものと ''m'' を ''n'' 個加えたものは同じ数である。すなわち
* [[交換法則]]: ''n'' × ''m'' = ''m'' × ''n''
が成り立つ。また、回帰的に複数回の乗法を行ったものは積をとる順序によらない。すなわち
* [[結合法則]]: (''n'' × ''m'') × ''l'' = ''n'' × (''m'' × ''l'')
が成り立つ。結合法則により、3 つの数の積を考えることができる。すなわち
: ''n'' × ''m'' × ''l'' := (''n'' × ''m'') × ''l'' = ''n'' × (''m'' × ''l'')
とする（4 つ以上の数の積も同様である）。ただし無限個の数の積についてはこの限りではない（詳細は[[総乗]]の項を参照されたい）。

積と和の間には次の法則が成り立つ：
* [[分配法則]]: ''n'' × (''m'' + ''l'') = ''n'' × ''m'' + ''n'' × ''l''
この性質は、乗法の一般化において重要な手がかりとなる。

== 乗法の一般化 ==
=== 分数 ===
分数の掛け算は割り算を掛け算の一種として統合する。すなわち、「''q'' で割る」という除法の計算を「''q'' の逆数 1/''q'' を掛ける」という操作とみなす。
: ''x'' × (''p'' / ''q'') := (''x'' × ''p'') ÷ ''q''.
:<math>
\frac{p}{q}\times\frac{r}{s}:= \frac{p\times r}{q\times s}
</math>

この定義は、[[割合]]の計算を考えることにより意味づけすることができる。

=== 実数・複素数 ===

=== 多項式 ===
分配法則が成り立つものとして[[多項式]]同士の積が定義できる。

=== アーベル群 ===
自然数や整数における上記の積の定義を再考すれば、加えられる対象である ''m'' は自然数や整数に限らずともよいことがわかる。実際、''x'' として有理数や実数など和が定義できるものを考えれば、''x'' を繰り返し加えることとして自然数を掛けることができる。また整数を掛けるためには、数 ''x'' は加法的逆元（マイナスの数）が定義できるものであれば何でも良い。すなわち ''x'' をある[[アーベル群]]の元とするとき、''n'' が整数であれば
:<math>nx = \begin{cases}
\overbrace{x + x + \cdots + x}^{n {\rm\ times}} & n > 0 \\
0 & n = 0 \\
\underbrace{(-x) + (-x) + \cdots + (-x)}_{|n| {\rm\ times}} & n < 0
\end{cases}</math>
として ''n'' を掛ける操作を定義できる。このことを「整数全体の集合はアーベル群に自然に作用する」と言い表す。

== 関連項目 ==
* [[加法]] - [[減法]] - [[除法]]
* [[四則演算]]
* [[二項演算]]
* [[冪乗]]
* [[総乗]]
* [[倍]]
{{substub}}

[[Category:算術|しようほう]]
[[Category:代数的構造|しようほう]]
[[Category:数学に関する記事|しようほう]]

[[ar:ضرب]]
[[ca:Multiplicació]]
[[cs:Násobení]]
[[da:Multiplikation]]
[[de:Multiplikation]]
[[en:Multiplication]]
[[es:Multiplicación]]
[[fa:ضرب (ریاضی)]]
[[fi:Kertolasku]]
[[is:Margföldun]]
[[it:Moltiplicazione]]
[[ko:곱셈]]
[[lt:Daugyba]]
[[nl:Vermenigvuldigen]]
[[nn:Multiplikasjon]]
[[no:Multiplikasjon]]
[[pl:Mnożenie]]
[[pt:Multiplicação]]
[[qu:Miray]]
[[ru:Умножение]]
[[simple:Multiplication]]
[[sk:Násobenie]]
[[sv:Multiplikation]]
[[th:การคูณ]]
[[tl:Multiplikasyon]]
[[zh:乘法]]

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 * [[倍]]
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 [[Category:算術|しようほう]]
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 [[Category:数学に関する記事|しようほう]]
 [[en:Multiplication]]
-[[es:Multiplicación]]
-[[fa:ضرب (ریاضی)]]
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